Circulo y Elipse

La ecuación del Círculo En la mayoría de las gráficas generadas por fórmulas, la formula está dado en la forma y = f(x) Tal forma hace muy facil encontrar los puntos en la gráfica. Todo lo que hay que hacer es elegir x, calcular f(x) (= alguna expresión dada que implique a x) y tendremos el valor correspondiente de y. Sin embargo, cualquier ecuación concerniente a x e y puede ser usada como la propiedad compartida por todos los puntos de la gráfica. La diferencia principal es que en ecuaciones más complicadas, después de elegir la x, encontrar la y correspondiente requiere trabajo extra, ( y algunas veces es más fácil elegir la y y encontrar la x).  Quizá la gráfica más conocida de este tipo es el círculo de radio R, cuya ecuación es

x2  +  y2  =   R2 Dibujar un círculo de radio R centrado en el origen O de un sistema de ejes (x,y). Determinado algún punto P en el círculo con los valores especificados de (x,y), dibujar una línea perpendicular desde P hasta el punto A en el eje de las x. Luego

x = OA        y = AP       R = OP

Aquí x y/o y pueden ser negativas, si están hacia la izquierda del eje de las y o por debajo del eje de las x, pero a pesar del signo, x2 e y2 son ambas siempre positivas. Puesto que el triángulo OAP tiene un ángulo de 90°, por el  teorema de Pitágoras, para cualquier elección de P, la relación de abajo siempre contiene: OA2  +  AP2  =   OP2 También se puede escribir x2  +  y2  =   R2 La ecuación del círculo es cumplida por cualquier punto localizado en el. Por ejemplo, si la gráfica está definida por la ecuación:      x2  +  y2  =   25 esta ecuación se cumple por todos los puntos listados abajo:

x	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	0	3	4	( 5 )
y	0	3	4	5	4	3	0	-3	-4	-5	-4	-3	( 0 )

  
 

La Ecuación de una Elipse La ecuación del círculo aún expresa la misma relación si ambos lados se dividen por R2: (x2/R2)  +  (y2/R2) =   1 La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:      (x2/a2)  +  (y2/b2) =   1 donde (a,b) son dos números dados, por ejemplo (8,4). ¿Cual será la gráfica de esa ecuación? Cerca del eje x y es muy pequeña y la ecuación se acerca casi a  (x2/a2)  =   1 De donde

x2 = a2 y por lo tanto x = a ó x = -a   (a veces combinado con x = ±a)

La gráfica en esas cercanías se asemeja a la sección de un círculo de radio a, cuya ecuación (x2/a2)  +  (y2/a2)  =   1 en esta región también está cercana a x2 = a2. De la misma forma  puede observar que cerca del eje de las y, donde x es pequeña, la gráfica corta el eje en y=±b y su figura aparenta la de un círculo de radio b.